施密特正交化的历史和发展：数学家的贡献 (施密特正交化公式)

引言

施密特正交化是一种数学技术，用于将一组向量正交化。在许多数学和科学领域，包括线性代数、统计学和计算机科学中，它都有着广泛的应用。施密特正交化的历史可以追溯到 19 世纪，在此期间许多数学家为其发展做出了贡献。

埃尔哈德·施密特

施密特正交化得名于德国数学家埃尔哈德·施密特（1876-1959）。他在 1907 年发表的一篇本文中首次提出了该技术。施密特的算法包括以下步骤：1. 给定一组向量 v_1, v_2, …, v_n。2. 将第一个向量 v_1 正规化：u_1 = v_1 / ||v_1||。3. 对于每个后续向量 v_i（i > 1）：- 减去其在先前向量上的投影：v_i’ = v_i – (v_i · u_1)u_1 – (v_i · u_2)u_2 – … – (v_i · u_{i-1})u_{i-1}- 正规化 v_i’：u_i = v_i’ / ||v_i’||

其他数学家的贡献

在施密特之后，其他数学家也对施密特正交化的发展做出了重要贡献，包括：- 雅各·勒韦克（1876-1956）：勒韦克在 1912 年发表了一篇本文，其中他推广了施密特的算法，使其可以适用于无限维向量空间。- 约翰·冯·诺伊曼（1903-1957）：冯·诺伊曼在 1932 年发表的一篇本文中，提出了施密特正交化的另一种等价形式，称为 Gram-Schmidt 过程。- 伊西多尔·伊萨克·拉比（1898-1988）：拉比在 1936 年发表的一篇本文中，将施密特正交化应用于分子光谱学中。- 吉尔伯特·斯特兰格（1934-）：斯特兰格在 20 世纪 70 年代开发了施密特正交化的一个高效数值算法，称为 Modified Gram-Schmidt 过程。

应用

施密特正交化在以下领域有着广泛的应用，包括：- 线性代数：用于构造正交基、求解线性方程组和计算矩阵的行列式。- 统计学：用于主成分分析（PCA）、回归分析和时间序列分析。- 计算机科学：用于图像处理、信号处理和机器学习。

结论

施密特正交化是数学和科学领域中一种重要且有用的技术。它是由埃尔哈德·施密特和其他几位数学家在 20 世纪早期开发的。施密特正交化因其在构造正交基、求解线性方程组和执行其他计算任务方面的有效性而受到广泛应用。

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